Question

已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，将直角三角

板PMN的30°角的顶点P与点A重合，旋转三角板PMN，在旋转过程中，三角板PMN的直角边PM与直线BC交于点E，斜边PN与直线DC交于点F，连接EF．（1）当E、F分别在线段BC、CD上时，（如图①），求证：EF=BE+DF；（2）当E,F分别在直线BC,CD上时（如图②），猜想线段EF,BE,DF之间的数量关系？并加以证明（3）当E,F分别在直线BC,CD上时（如图③），猜想线段EF,BE,DF之间的数量关系？并加以证明

Answer 1

1）连结AC，
因为 AB=AD，BC=DC，AC=AC，
所以 三角形ABC全等于三角形ADC，
所以 角B=角D，
因为 在四边形ABCD中，角BAD=120度，角BCD=60度，
所以 角B=角D=90度，
延长FD到G，使DG=BF，连结AG，
则因为 AB=AD，BE=DG，角B=角ADG=90度，
所以 三角形ABE全等于三角形ADG，
所以 AE=AG，角B=角G，
又因为 AF=AF，
所以 三角形AEF全等于三角形AGF，
所以 EF=GF，
所以 EF=DG+DF=BE+DF。
2）当E，F分别在BC，CD的延长线上时，EF=BE--DF。
理由是：在BC上截取BG=DF，连结AG，易证三角形ABG全等于三角形ADF，
从而可得：AG=AF，角GAB=角FAD，又AE=AE，
所以 三角形AGE全等于三角形AFE，
所以 EF=EG=BE--BG=BE--DF。