Question

已知y=1/x与圆(x-2)^2+(y-2)^2=5相交于AB两点,则AB的垂直平分线方程是

Answer 1

将y=1/x代入圆的方程：
(x-2)²+(1/x-2)²=5
x²-4x+4+1/x²-4/x+4=5
(x²+1/x²)-4(x+1/x)+3=0
令t=x+1/x ,则t²=x²+1/x²+2
方程化为：t²-2-4t+3=0
即t²-4t+1=0
因为|x+1/x|>=2,解之得t=2+√3, (舍去t=2-√3的根)
故x+1/x=2+√3
x²-(2+√3)x+1=0
x1+x2=(2+√3)
x1x2=1
A(x1, 1/x1),B(x2,1/x2)
AB中点M为(a, b) ,其中
a=(x1+x2)/2=1+√3/2,
b=(1/x1+1/x2)/2=(x1+x2)/(2x1x2)=1+√3/2
AB的斜率=(1/x2-1/x1)/(x2-x1)=-1/(x1x2)=-1
因此AB的垂直平分线斜率为1
所以AB的垂直平分线方程为：y=(x-a)+b,
即y=x

Answer 2

解：∵y=1/x是关于y=x轴对称的
圆(x-2)²+(y-2)²=5也是关于y=x轴对称的
也就是把y=x看成对称轴的话
A B两点也是关于y=x对称的
∴AB的垂直平分线是y=x。