Question

【初三数学寒假作业问题】

如图，已知三角形ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，AF⊥DE，求证：△ADE是等腰三角形。

Answer 1

此题其实是为了一个重要性质而出：三角形两个内角的两条外角平分线与第三个内角的内角平分线交于一点！
过F分别作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N，FP⊥BC于P
∴∠BMF=∠BPF=90°
BF平分∠DBC，∴∠MBF=∠PBF
在△BMF和△BPF中，∠MBF=∠PBF，∠BMF=∠BPF，BF=BF
∴△BMF≌△BPF
∴MF=PF
同理，可证△PCF≌△NCF
∴PF=NF
∴MF=NF
在Rt△AMF和Rt△ANF中，∠AMF=∠ANF=90°，MF=NF，AF=AF
∴△AMF≌△ANF
∴∠DAF=∠EAF，即AF平分∠DAE
∵AF⊥DE
∴在△ADE中，AF既是∠DAE的角平分线，又是其对边DE上的高，∴△ADE是等腰三角形（当然，也可由证明全等得此结论）