Question

f(x)=ax^3+x^2-ax(a属于R，且a≠0)，存在a∈(-∞,-1],使g(x)=f(x)+f'(x)，x∈[-1,b]

f(x)=ax^3+x^2-ax(a属于R，且a≠0)，存在a∈(-∞,-1],使g(x)=f(x)+f'(x)，x∈[-1,b](b＞-1)在x=-1处取得最小值，则实数b的最大值为______

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2x-a
g(x)=ax^3+x^2-ax+3ax^2+2x-a
g'(x)=3ax^2+2x-a+6ax+2 =0
可以解得x1,x2 两个极值点（x1>x2）
x1=(-1-3a+根号(12a^2+1))/(3a) x2=(-1-3a-根号(12a^2+1))/(3a)
因为a<=-1
可以求出x1,x2的取值范围。
再根据x在[-1,b]上　可得b

追问

b=?

追答

x=-1必然在极大值与极小值点之间　(x1>x2
x2-1)

x=-1必在极小值与极大值之间
x1>x2
因为a-1)可以求出b

追问

能不能把b的最大值告诉我一下 ？我不知道求的对不对。

追答

g(-1)=ax^3+x^2-ax+3ax^2+2x-a

=-a+1+a+3a-2-a
=2a-1
g(b)=ab^3+b^2-ab+3ab^2+2b-a =2a-1
ab^3+b^2-ab+3ab^2+2b-3a+1=0
令h(b)=ab^3+b^2-ab+3ab^2+2b-3a+1
h'(b)=3ab^2+2b-a+6ab+2=0
a<=-1
a(3b^2+6b-1) =-2b-2

a=(-2b-2)/(3b^2+6b-1)<=-1
由这个式子可以求出b值