Question

如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,BD交OC于点E,若AC=4,AB=5,则BE=

如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,BD交OC于点E,若AC=4,AB=5,则BE=？

Answer 1

∵OD⊥AC,∴AD=DC=2.。
连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，BC∥OD，OD是⊿ABC的中位线，OD=BC/2，
由AB=5，AC=4可知BC=3，直角三角形DCB中斜边BD=√(2²+3²)=√13，
由BC∥OD可知DE/BE=OD/BC=1/2，则BE=(2/3)BD=(2√13)/3.。

追问

为什么 “ ∵AB是直径，∴BC⊥AC，BC∥OD，OD是⊿ABC的中位线，OD=BC/2” ？
谢谢

追答

根据定理：垂直于弦的直径平分这弦，所以AD=DC，
根据定理：直径上的圆周角是直角，所以有BC⊥AC，
根据定理：垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以BC∥OD,
O是AB的中点，D是AC的中点，则OD是中位线，印证了OD∥BC,另有OD=BC/2。

——有时要用到如下定理：过三角形一边的中点平行于另一边的直线平分第三边。
——所以该三角形中出现了一段中位线。