Question

已知,如图,在△ABC中,D,E,F分别是三边的中点,求证S△DEF=1/4S△ABC

Answer 1

∵D,E,F分别是三边的中点
∴DE/BC=1/2，且DE∥BC
DF/AC=1/2，且DF∥AC
EF/AB=1/2，且EF∥AB
∴S△ADE/S△ABC=(DE/BC)²=1/4即S△ADE=1/4S△ABC
S△BDE/S△ABC=(DF/AC)²=1/4，即S△BDE=1/4S△ABC
S△CEF/S△ABC=(EF/AB)²=1/4，即S△CEF=1/4S△ABC
∴S△DEF=1/4S△ABC

Answer 2

因为D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，则根据中位线定理，DF//BC,DE//AC,EF//AB
得△ABC∽△ADF∽△DBE∽△FEC∽△EFD（两内角相等）
又因为DF=BE=EC,
且DF是△EFD和△ADF的公共边.
所以△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD
又S△ADF+S△DBE+S△FEC+S△EFD=S△ABC,
所以S△DEF=1/4S△ABC

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