Question

已知a＞0，函数f（x）=（ax/（x²+1））+2a，g（x）=alnx-x+a

求（Ⅰ）函数f（x）的单调区间
（Ⅱ）求证：对于任何的x1，x1属于（0，e），都有f（x1）＞g（x2）

Answer 1

f(x)=(ax/(x²+1))+2a
f '(x)=a/(x²+1)-a/[2(x^2+1)^2]=[2a(x²+1)-a]/[2(x^2+1)^2]=a(2x^2-1)/[2(x^2+1)^2]，
当x=±(√2)/2时，f '(x)=0，
在(-∞，-(√2)/2]上f(x)是增函数，
在[-(√2)/2，(√2)/2]上f(x)是减函数，
在[(√2)/2，+∞)上，f(x)是增函数；

后半题表述看不大明白，x2咋回事？

追问

Ⅱ）求证：对于任何的x1，x2属于（0，e），都有f（x1）＞g（x2）

追答

思路是f(x)的最小值大于g(x)的最大值！
由上，f(x)在(0，(√2)/2]上是减函数，在[(√2)/2)，e)上是增函数，
所以f(x)在(0，e)上的最小值是f[(√2)/2]=(6+√2)a/3；
又g(x)=alnx-x+a，
g '(x)=a/x-1
所以g(x)在(0，a]上是增函数，在[a，+∞)上是减函数,，
如果0e，则g(e)最大，g(e)=alne-e+a=2a-e<2a+(√2)a/3=f[(√2)/2]，
所以，对于任何的x1，x2属于（0，e），都有f（x1）＞g（x2）。