Question

线性代数中特征值的一些证明

证明图片中红色框内的

Answer 1

由于特征值为λ1、λ2……λn，所以你写的那个行列式一定可因式分解为（λ-λ1）（λ-λ2）……（λ-λn）＝0的形式。注意左边式子展开λ的n-1次方的系数为-（λ1＋λ2……＋λn）
再观察你那行列式的λ的n-1次方的系数。第一题就证明出来了。

至于第二题，这个矩阵相似于对角线元素为λ1、λ2……λn的对角阵。这个对角阵的行列式的值就是λ1λ2……λn，它就等于｜A｜

Answer 2

|λE-A|=

|λ-a11 -a12 ...-a1n|
|-a21 λ-a22....-a2n|
|。。。。。。。。. |
|-an1 -an2....λ-ann|
=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)

λ^n-(a11+a22+...+ann)λ^(n-1)+...+[(-1)^n]|A|
=λ^n-(λ1+λ2+...+λn)λ^(n-1)+...+[(-1)^n]λ1λ2...λn
比较同次幂的系数可得上述结论!!!

方阵特征值之积等于行列式值也可以如下这样理解
因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，
而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。