Question

如图，△ABC是等边三角形，D是BC变的中点，以点D为顶点作一个120°角，

Answer 1

(1)证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以角B=角C=60度
因为DM垂直AB
所以角BMD=90度
因为角BMD+角B+角BDM=180度
所以角BDM=30度
所以在直角三角形BMD中，角BMD=90度，角BDM=30度
所以BM=1/2BD
因为角BDM+角MDN+角CDN=180度
角MDN=120度
所以角CDN=30度
因为角CDN+角C+角CND=180度
所以角CND=90度
所以在直角三角形CND中，角CND=90度，角CDN=30度
所以CN=1/2CD
所以BM+CN=1/2(CD+BD)
因为CD+BD=BC
所以BM+CN=1/2BC
(2)BM+CN=1/2BC的结论仍然成立
证明：以BD为边在等边三角形ABC内作等边三角形BDE,点E在AB边上
所以角B=角C=60度
角BDE=角BED=60度
BD=BE=DE
因为D是BC的中点
所以BD=CD=1/2BC
所以DE=CD
角BED=角C=60度
因为角BDE+角EDC=180度
所以角EDC=角EDN+角CDN=120度
因为角MDN=角EDM+角EDN=120度
所以角EDM=角CDN
所以三角形EDM和三角形CDN全等（ASA)
所以EM=CN
因为BE=BM+EM
所以BD=BM+CN
所以BM+CN=1/2BC
(3)BM-CN=1/2BC
证明：以BD为边在等边三角形ABC内作等边三角形BDF，点F在AB边上
所以BF=DF=BD
角B=角BDF=角BFD=60度
角ACB=60度
因为角ACB+角DCN=180度
所以角DCN=120度
因为角BFD+角MFD=180度
所以角MFD=60度
所以角MFD=角DCN=120度
因为角BDF+角FDC=180度
所以角FDC=角MDF+角CDM=120度
因为角MDN=角CDM+角CDN=120度
所以角MDF=角CDN
因为D为BC的中点
所以BD=CD=1/2BC
所以DF=CD
所以三角形DMF和三角形DNC全等（ASA)
所以FM=CN
因为BM=BF+MF=CN+BD
所以BM-CN=1/2BBC

Answer 2

易证：AB+BD=AC ⑴如图②所示，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，线段AD、BD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明。 ⑵如图③所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是外角∠EAB的平分线，线段AB、BD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明你的猜想。 2、已知；∠BAC=60°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于F，如图①，易证：DE+DF=AD 当∠BAC=60°，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB时，如图②， 当∠BAC=90°，AD平分∠BAC，AE=AF，且∠BED=∠CFD=60°时，（如图③） 图②，图③中，DE、DF与AD有何数量关系，写出你的猜想，并选择其一加以证明。 3、如图①所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，若已知AM=BM+DN，易证AN平分∠DAM，当M在BC的延长线上时，如图②所示，此时已知存在AM=BM+DN，当M在BC的反向延长线上时，如图③所示，此时已知存在DN=AM+BM，当其它条件不变时，在图②，图③两种情况下，图①中的结论AN平分∠DAM还成立吗？ 请写出你的猜想，并对图③的猜想给以证明。 4、已知：AB∥CD∥EF，E为AC中点，AC∥BD，易证2EF=AB+CD，如图1若AC与BD不平行，其它条件不变，如图2，图3，则在图2，图3两种情况下，线段EF、AB、CD又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，并对其中一种情况给予证明。 5、如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以点D为顶点作一个120°角，角的两边分别交直线AB、AC于M、N两点，以D为中心旋转∠MDN，（∠MDN的度数不变）。 当DM与AB垂直时，如图1，易证：BM+CN= BC， 当DM与AB不垂直时，在图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，线段BM、CN、BC之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，选择一种情况给予证明。 7、如图1，在正方形ABCD中，将一直角三角板直角顶点放在点D处，当两条直角边分别与AD、CD重合时，连接AC交对角线BD于点E，作∠BAC的平分线交BD于点F，则可知AB-EF= AC。 （1）当三角板绕着点D顺时针旋转一定的角度后，如图2所示，连接三角板两直角边与直线BA、BC的两个交点A1、C1，作∠BA1C1的平分线交BD于点F，过F1作F1E1⊥A1C1垂足为E1，猜想AB、E1F1、 A1C1三者之间的数量关系，并证明你的猜想。 （2） 若把（1）中的条件改成逆时针放置则上述结论是否成立，如不成立，请写出结论及证明过程。 8、 如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、 AC、BC边上的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动，） （1）如图1，当点M在点B的左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由。 （2）如图2，当点M在点B边上，其它条件不变时，（1）的结论中EN与MF的数量关系是是否依然成立？请利用图2证明，若不成立，请说明理由。 （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中作出相应的图形，（不写作法），（1）的结论中EN与MF的数量关系是否依然成立？请直接写出结论，不必证明或说出理由。