Question

平行四边形中的综合题

在平行四边形ABCD中，CD=10，sinC=4/5.点E，F分别是边AD，对角线BD上的动点（点E不与A，D重合），角BEF=角A=角DBC。设AE=x，BF=y
（1）求AD的长
（2）求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围
（3）点E在边AD上移动的过程中，△BEF是否可能成为一个等腰三角形？若有可能，求出x的值，若不可能，请说明理由。

Answer 1

如图所示
(1) ∠A=∠DBC
又 ∠C=∠A
故△BCD为等腰三角形，BD=CD=10
△ABD为等腰三角形，AB=BD=10
sinA=sinC=4/5, cosA=3/5
∠ABD=180-2*A
sin∠ABD=sin(180-2*A)=sin2*A=2sinA*cosA=24/25
由正弦定理
AD=BD*sin∠ABD/sinA=10*(24/25)/(4/5)=12

(2) ∠BEF=∠DBC=∠BDE
∠EBF=∠DBE
∴△BDE∽△BEF
BE/BD=BF/BE
BE/10=y/BE
BE^2=10y
又cos∠BDE=cosC=3/5
由余弦定理
cos∠BDE=(DE^2+BD^2-BE^2)/2DE*BD，即
[(12-x)^2+10^2-10y]/2(12-x)*10=3/5,化简得
y=(x^2-12x+100)/10
0<y<10且0<x<12
∴0<x^2-12x+100<100且0<x<12,解得
0<x<12

(3) 显然∠BEF≠∠BFE （否则∠EBF=∠ABD，D与A重合，和已知条件矛盾）
所以要使△BEF成为一个等腰三角形，只能是∠BFE=∠EBF或∠BEF=∠EBF

a. 当∠BFE=∠EBF时，BE=EF
又△BDE∽△BEF，BE/BD=EF/DE
∴BD=DE
即y=12-x,代入y=(x^2-12x+100)/10得
x^2-2x-20=0
x=1±√21
舍去负根
x=1+√21时△BEF成为一个等腰三角形，BE=EF

b. 当∠BEF=∠EBF时，BF=EF=y
又△BDE∽△BEF，BF/BE=EF/DE
∴BE=DE=12-x
在△BEF中，∠BEF=∠A=∠C
cos∠BEF=3/5=(12-x)/2y
即y=(60-5x)/6,代入y=(x^2-12x+100)/10得
3x^2-11x=0
舍去0根
x=11/3时△BEF成为一个等腰三角形，BF=EF.