Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a,b,c)为常数 导数为f'(x) f(x)≥f'(x)恒成立 b^2/a^2+c^2最大值

Answer 1

f'(x)=2ax+b
f(x)-f'(x)>=0恒成立
ax²+(b-2a)x+c-b>=0
故有a>0, 且(b-2a)²-4a(c-b)<=0
b²+4a²-4ac<=0
得：b²<=4ac-4a², c>=(b²+4a²)/(4a)>0
记t=c/a>0
因此b²/(a²+c²)<=(4ac-4a²)/(a²+c²)=4(t-1)/(1+t²)
现求y=(t-1)/(1+t²)的最大值
判别式法：
去分母：yt²-t+y+1=0
判别式>=0,得：1-4y(y+1)>=0, 4y²+4y-1<=0,得： (-1-√2)/2=<y<=(-1+√2)/2
因此b²/(a²+c²)<=4y<=2(-1+√2)
故最大值为-2+2√2