Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)中a,b,c均为整数，且f(0),f(1)均为奇数，求证方程

Answer 1

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)[a,b,c均为整数]且f(0),f(1)均为奇数，求证方程f(x)=0无整数根
f(0)=c为奇数
f(1)=a+b+c为奇数
则a+b为偶数
a,b同奇偶
假设整数根t
f(t)=0
at^2+bt+c=0
若a,b同为偶数
则at^2+bt为偶数
at^2+bt+c为奇数
at^2+bt+c≠0
若a,b同为奇数
若t为偶数
则at^2+bt为偶数
若t为奇数
则at^2+bt为偶数
at^2+bt+c为奇数
at^2+bt+c≠0
综上所述方程f(x)=0无整数根