Question

在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且asinAsinB+bcosA=√2a (1)求b/a (2)若c=b+√3a,求B

Answer 1

解： 原式化为，aSinA*SinB+b(1-Sin^2A)=√2*a (原式为√2A，错的） 或aSinA*SinB+b-bSin^2A=√2*a （1） 由三角形正弦定理 SinA/a=SinB/b=R, (R为外接圆直径） 得SinA=aR, SinB=bR, 代入（1）式，有 a*aR*bR+b-b*a^2*R^2=√2*a 整理得b=√2a, 或 b/a=√2/(2)由余弦定理得c=a+b-2abcosC=b+(√3)a 于是得(1-√3)a-2abcosC=0，cosC=[(1-√3)/2](a/b)=[(1-√3)/2](√2/2)=(√2/2)(1/2)-(√2/2)(√3/2) =cos45°cos60°-sin45°sin60°=cos(45°+60°)=coa105°，故C=105°； 于是sinC=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=(√2/4)(1+√3) 将a=(√2)b/2代入c=b+(√3)a=b+(√3)(b/2)=[(2+√3)/2]b ∴b/c=√[2/(2+√3)]=√[2(2-√3)] sinB=(b/c)sinC=√[2(2-√3)][(√2/4)(1+√3)]=[√(2-√3)](1+√3)]/2=√[4-2√3)/2](1+√3)/2 =√[√3-1)/2](1+√3)/2=(√3-1)(1+√3)/2√2=2/2√2=1/√2=√2/2 ∴B=45°(因为前面已求出C=105°,故B不可能再是钝角。)