Question

已知函数 f(x)=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值，且a＞3（1）求a与b满足的关系式；（2）求函数f（

已知函数 f(x)=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值，且a＞3（1）求a与b满足的关系式；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=a 2 x 2 +3，若存在 m 1 ， m 2 ∈[ 1 2 ，2] ，使得|f（m 1 ）-g（m 2 ）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵ f(x)=x-alnx+ b x ， ∴f′（x）=1- a x - b x 2 ， ∵ f(x)=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值， ∴f′（1）=0， ∴1-a-b=0，即b=1-a． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 由（1）可得f′（x）=1- a x - b x 2 = x 2 -ax-(1-a) x 2 = (x-1)[x-(a-1)] x 2 ， 令f′（x）=0，则x 1 =1，x 2 =a-1． ∵a＞3，x 2 ＞x 1 ，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f ′ （x）＞0； 当x∈（1，a-1）时，f ′ （x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）． （3）当a＞3时，f（x）在[ 1 2 ，1）上为增函数，在（1，2]为减函数， 所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0． 因为函数g（x）在[ 1 2 ，2]上是单调递增函数， 所以g（x）的最小值为g（ 1 2 ）= 1 4 a 2 +3＞0． 所以g（x）＞f（x）在[ 1 2 ，2]上恒成立． 要使存在m 1 ，m 2 ∈[ 1 2 ，2]，使得|f（m 1 ）-g（m 2 ）|＜9成立，只需要g（ 1 2 ）-f（1）＜9， 即 1 4 a 2 +3-（2-a）＜9， 所以-8＜a＜4．  又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．