Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是______

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是______．

Answer 1

△ABC中，由余弦定理可得 2cosC= a 2 +b 2 -c 2 ab ，∵a=1，2cosC+c=2b， ∴ 1 +b 2 -c 2 b +c=2b，化简可得 （b+c） 2 -1=3bc． ∵bc≤ ( b+c 2 ) 2 ，∴（b+c） 2 -1≤3× ( b+c 2 ) 2 ，解得 b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）． 故a+b+c≤3． 再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]， 故答案为 （2，3]．