Question

已知：在等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程x2-4mx-12x+m2=0的两个实数根．D、E分别是BC、AC上的点，且

已知：在等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程x2-4mx-12x+m2=0的两个实数根．D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°（1）求AB的长；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）在等边△ABC中，∠B=60°，
所以，cosB=cos60°=

1

2

，
∵cosB是方程的根，
∴（

1

2

）²-4m×

1

2

-

1

2

×

1

2

+m²=0，
整理得，m²-2m=0，
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∵AB是方程的另一根，
∴AB+

1

2

=4m+

1

2

=4×2+

1

2

，
解得AB=8；

（2）在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，
∵∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=60°+∠BAD-∠60°=∠BAD，
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=8-x，
∵在△ABD和△DCE中，

∠CDE＝∠BAD ∠B＝∠C

，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，
即

8

8?x

=

x

CE

，
解得CE=

1

8

x（8-x），
根据图形，AE=AC-CE，
所以，y=8-

1

8

x（8-x）=

1

8

x²-x+8，
即y=

1

8

x²-x+8．