Question

原题：“如图1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分线，E是AB上一点（不与A、B重合），EF⊥DE交BG于F，

原题：“如图1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分线，E是AB上一点（不与A、B重合），EF⊥DE交BG于F，求证：DE=EF．”证明的思路是：在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，由AAS可得△DME≌△EBF．阅读了以上材料后，请你解答下列问题：（1）如图2，如果将原题中的条件“正方形”改为“正三角形”，“EF⊥DE”改为“∠DEF=60°”，其它条件不变，原题的结论还成立吗？如果成立请给出正面，如果不成立请给出反例．（2）如果将原题中的条件“正方形”改为“正五边形”，请你模仿原题写出一个真命题，并在图3中画出相应的图形．

Answer 1

（1）原结论还成立，即DE=EF．
在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，
（1分）∵△ABD是等边三角形，
∵∠A=60°，AM=AE，∴∠AEM=∠AME=60°
∴∠DME=60°+60°=120°，
∵∠DBH=120°，BG平分∠DBH，∴∠EBF=60°+60°=120°，
∴∠DME=∠EBF（3分）
∵∠DEF=60°，
∴∠DAE=∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE=∠FEB，（5分）
又∵DM=EB，∴△MDE≌△BEF，∴DE=EF．（6分）


（2）如图，正五边形ABCMN中，E在AB上，F在外角
∠CBH的角平分线上，∠NEF=108°，那么NE=EF．
证明：在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，（1分）
在正五边形ABCMN中，
∵∠A=

5?2

5

×180=108°，AM=AE，∴∠AEM=∠AME=

180?108

2

=36°，
∴∠NME=108°+36°=144°，
∵∠CBH=180-108=72°，BG平分∠CBH，∴∠EBF=108°+36°=144°，
∴∠DME=∠EBF（3分）
∵∠NEF=108°，
∴∠DAE=∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE=∠FEB，（5分）
又∵DM=EB，∴△MDE≌△BEF，∴DE=EF．（6分）