Question

已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞,)且对于任意m,n∈D

已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞,)且对于任意m,n∈D，均有f（a*b）=f(a)+f(b)
（1） 求f(1)与f(-1)的值；.
（2） 判断函数的奇偶性并证明；
（3） 若f(4)=1，f（x-1）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x取值范围

Answer 1

(1) f(-1)＝f(1)+f(-1)，所以f(1)＝0
f(1)＝f(-1)+f(-1)，所以f(-1)＝0
(2) f(-x)＝f(-1)+f(x)＝f(x)，所以是偶函数
(3)f(64)＝f(4)+f(16)＝f(4)+f(4)+f(4)＝3
又f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)是偶函数，所以 -64<x-1<64，所以-63<x<65

Answer 2

答：
1）f(x)满足f(m/n)=f(m)-f(n)
当m=n时：m/n=1，f(1)=f(m)-f(m)=0
设m=1，n=-1：f(-1)=f(1)-f(-1)，2f(-1)=0，f(-1)=0
所以：f(1)=0，f(-1)=0
2）设m=-n，m/n=-1
f(m/n)=f(m)-f(n)
f(-1)=f(-n)-f(n)=0
f(-n)=-f(n)
所以：f(x)是奇函数
3）设m>n>0，m/n>1，f(m/n)>0
f(m/n)=f(m)-f(n)>0
f(m)>f(n)
所以：f(x)在x>0时是增函数
4）根据上述3）知道奇函数f(x)的两个分支都是增函数
f(-1)=f(1)=0，f(3)=1
f(1/3)=f(1)-f(3)=0-1=-1=-f(-1/3)
所以：f(-1/3)=1
因为：f(2x+1)<=1=f(3)=f(-1/3)
所以：0<2x+1<=3或者2x+1<=-1/3
所以：-1/2
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Answer 3

（1）
b≠0，f(b)=f(1×b)=f(1)+f(b)，所以f(1)=0；
f(-1)+f(-1)=f[(-1)×(-1)]=f(1)=0，所以f(-1)=0；
（2）
对任意x≠0，f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x)，所以f(x)是偶函数；
（3）
3=1+1+1=f(4)+f(4)+f(4)=[f(4)+f(4)]+f(4)=f(4×4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64)
f(x-1)≤3=f(64)，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以x∈(0，+∞)时，x-1≤64，即0<x≤65；
又f(x)是偶函数，所以x∈(-∞，0)时，-65≤x<0；
所以 若f(4)=1，f(x-1)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，则x的取值范围是[-65，0)∪(0，65]。