已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞,)且对于任意m,n∈D
已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞,)且对于任意m,n∈D,均有f(a*b)=f(a)+f(b)(1)求f(1)与f(-1)的值;.(2)判断函数的奇偶...
已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞,)且对于任意m,n∈D,均有f(a*b)=f(a)+f(b)
(1) 求f(1)与f(-1)的值;.
(2) 判断函数的奇偶性并证明;
(3) 若f(4)=1,f(x-1)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x取值范围 展开
(1) 求f(1)与f(-1)的值;.
(2) 判断函数的奇偶性并证明;
(3) 若f(4)=1,f(x-1)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x取值范围 展开
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答:
1)f(x)满足f(m/n)=f(m)-f(n)
当m=n时:m/n=1,f(1)=f(m)-f(m)=0
设m=1,n=-1:f(-1)=f(1)-f(-1),2f(-1)=0,f(-1)=0
所以:f(1)=0,f(-1)=0
2)设m=-n,m/n=-1
f(m/n)=f(m)-f(n)
f(-1)=f(-n)-f(n)=0
f(-n)=-f(n)
所以:f(x)是奇函数
3)设m>n>0,m/n>1,f(m/n)>0
f(m/n)=f(m)-f(n)>0
f(m)>f(n)
所以:f(x)在x>0时是增函数
4)根据上述3)知道奇函数f(x)的两个分支都是增函数
f(-1)=f(1)=0,f(3)=1
f(1/3)=f(1)-f(3)=0-1=-1=-f(-1/3)
所以:f(-1/3)=1
因为:f(2x+1)<=1=f(3)=f(-1/3)
所以:0<2x+1<=3或者2x+1<=-1/3
所以:-1/2
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1)f(x)满足f(m/n)=f(m)-f(n)
当m=n时:m/n=1,f(1)=f(m)-f(m)=0
设m=1,n=-1:f(-1)=f(1)-f(-1),2f(-1)=0,f(-1)=0
所以:f(1)=0,f(-1)=0
2)设m=-n,m/n=-1
f(m/n)=f(m)-f(n)
f(-1)=f(-n)-f(n)=0
f(-n)=-f(n)
所以:f(x)是奇函数
3)设m>n>0,m/n>1,f(m/n)>0
f(m/n)=f(m)-f(n)>0
f(m)>f(n)
所以:f(x)在x>0时是增函数
4)根据上述3)知道奇函数f(x)的两个分支都是增函数
f(-1)=f(1)=0,f(3)=1
f(1/3)=f(1)-f(3)=0-1=-1=-f(-1/3)
所以:f(-1/3)=1
因为:f(2x+1)<=1=f(3)=f(-1/3)
所以:0<2x+1<=3或者2x+1<=-1/3
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(1)
b≠0,f(b)=f(1×b)=f(1)+f(b),所以f(1)=0;
f(-1)+f(-1)=f[(-1)×(-1)]=f(1)=0,所以f(-1)=0;
(2)
对任意x≠0,f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数;
(3)
3=1+1+1=f(4)+f(4)+f(4)=[f(4)+f(4)]+f(4)=f(4×4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64)
f(x-1)≤3=f(64),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以x∈(0,+∞)时,x-1≤64,即0<x≤65;
又f(x)是偶函数,所以x∈(-∞,0)时,-65≤x<0;
所以 若f(4)=1,f(x-1)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,则x的取值范围是[-65,0)∪(0,65]。
b≠0,f(b)=f(1×b)=f(1)+f(b),所以f(1)=0;
f(-1)+f(-1)=f[(-1)×(-1)]=f(1)=0,所以f(-1)=0;
(2)
对任意x≠0,f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数;
(3)
3=1+1+1=f(4)+f(4)+f(4)=[f(4)+f(4)]+f(4)=f(4×4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64)
f(x-1)≤3=f(64),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以x∈(0,+∞)时,x-1≤64,即0<x≤65;
又f(x)是偶函数,所以x∈(-∞,0)时,-65≤x<0;
所以 若f(4)=1,f(x-1)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,则x的取值范围是[-65,0)∪(0,65]。
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