假设z=arctanx/y，
两边进行求导可得：
dz={1/[1+(x/y)^2]*(ydx-xdy)/y^2
=[y^2/(x^2+y^2)]*(ydx-xdy)/y^2
=(ydx-xdy)/(x^2+y^2)
=ydx/(x^2+y^2)-xdy/(x^2+y^2)
即z对x的偏导数=y/(x^2+y^2)；z对y的偏导数=-x/(x^2+y^2)。
1、x方向的偏导：
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
2、y方向的偏导
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
扩展资料
一、偏导函数的计算
1、对于非间断点处，使用一元函数求导运算法则求多元函数关于某个变量的偏导数，求导过程中其余变量视为常数；
2、对于间断点的偏导数使用偏导数的定义判断偏导数的存在性，并计算偏导数；
3、对于具体点处的偏导数一般采用“先代后求”的计算法或者定义法计算偏导数。
二、求法
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
dz={1/[1+(x/y)^2]*(ydx-xdy)/y^2
=[y^2/(x^2+y^2)]*(ydx-xdy)/y^2
=(ydx-xdy)/(x^2+y^2)
=ydx/(x^2+y^2)-xdy/(x^2+y^2)
所以
z对x的偏导数=y/(x^2+y^2)；
z对y的偏导数=-x/(x^2+y^2)。
对y求导为-x/(x^2+y^2)
