Question

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x^2-3x-2=0的根，求这个三角形周长的最小值及面积最大值。

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x^2-3x-2=0的根，求这个三角形周长的最小值及面积最大值。

Answer 1

a+b=10,夹角是C
2x²-3x-2=0
x=2,x=-1/2
-1<=cosC<=1
所以cosC=-1/2
C=120度
sinC=√3/2

a+b=10
a²+b²=100-2ab>=2ab
所以ab<=25
c²=a²+b²-2abcosC=100-ab>=100-25=75
c>=5√3
所以周长最小=10+5√3

ab<=25
S=1/2absinC<=25√3/4
所以面积最大=25√3/4

Answer 2

根据2x^2-3X-2=0得X=-1/2或2所以夹角的余弦值为-1/2夹角的正弦值√3/2
又a+b=10（注a、b是两条边）
所以由均值不等式
[(a+b)/2]^2>=ab解得ab最大值等于25
三角形的最大面积为(abSinC)/2=25×(√3/2)×1/2=25√3/4
(注C为ab夹角√为开根号)