Question

已知双曲线 C： x 2 4 - y 2 =1 ，P为双曲线C上的任意一点．（1）写出双曲线的焦点坐标

已知双曲线 C： x 2 4 - y 2 =1 ，P为双曲线C上的任意一点．（1）写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程；（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．

Answer 1

（1）依题意，双曲线的两焦点F 1 （- 5 ，0），F 2 （ 5 ，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0． （2）设P（x 1 ，y 1 ）是双曲线上任意一点，该点P（x 1 ，y 1 ）到两条渐近线的距离分别是 | x 1 -2 y 1 | 5 和 | x 1 +2 y 1 | 5 ， ∵P（x 1 ，y 1 ）为双曲线C上的任意一点， ∴ x 1 2 -4 y 1 2 =4， ∴它们的乘积是 | x 1 -2 y 1 | 5 ? | x 1 +2 y 1 | 5 = x 1 2 - 4y 1 2 5 = 4 5 ． ∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．