Question

过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组

过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R 1 =2.0m、R 2 =1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v 0 =12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L 1 =6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s 2 ，计算结果保留小数点后一位数字．试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3 应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．

Answer 1

（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1 根据动能定理得： -μmgL 1 -2mgR 1 = 1 2 mv 1 2 - 1 2 mv 0 2 ① 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：              F+mg=m v 21 R 1         ② 由 ①、②得               F=10.0 N  ③ （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2 ，由小球恰能通过第二圆形轨道有：                  mg=m v 22 R 2      ④ -μmg（L 1 +L）-2mgR 2 = 1 2 mv 2 2 - 1 2 mv 0 2  ⑤ 由④、⑤得             L=12.5m    ⑥ （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：  I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3 ，应满足                mg=m v 23 R 3   ⑦ -μmg（L 1 +2L）-2mgR 3 = 1 2 mv 3 2 - 1 2 mv 0 2  ⑧ 由 ⑥、⑦、⑧得            R 3 =0.4m II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3 ，根据动能定理 -μmg（L 1 +2L）-2mgR 3 =0- 1 2 mv 0 2               解得                   R 3 =1.0m 为了保证圆轨道不重叠，R 3 最大值应满足                 （R 2 +R 3 ） 2 =L 2 +（R 3 -R 2 ） 2 解得               R 3 =27.9m 综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件   0＜R 3 ≤0.4m或  1.0m≤R 3 ≤27.9m 当0＜R 3 ≤0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则 -μmgL′=0- 1 2 mv 0 2                    L′=36.0m 当1.0m≤R 3 ≤27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则                  L″=L′-2（L′-L 1 -2L）=26.0m 答：（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小为10.0N； （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是12.5m； （3）第三个圆轨道的半径须满足下面的条件  0＜R 3 ≤0.4m或  1.0m≤R 3 ≤27.9m 当0＜R 3 ≤0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为36.0m 当1.0m≤R 3 ≤27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为26.0m．