(2014?深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣

(2014?深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接B... (2014?深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.(1)求⊙M的半径;(2)证明:BD为⊙M的切线;(3)在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大. 展开
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2014-11-06 · TA获得超过306个赞
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(1)解:∵由题意可得出:OA2+OB2=AB2,AO=4,BO=3,
∴AB=5,
∴圆的半径为
5
2


(2)证明:由题意可得出:M(2,
3
2

又∵C为劣弧AO的中点,由垂径定理且 MC=
5
2
,故 C(2,-1)
过 D 作 DH⊥x 轴于 H,设 MC 与 x 轴交于 K,
则△ACK∽△ADH,
又∵DC=4AC,
故 DH=5KC=5,HA=5KA=10,
∴D(-6,-5)
设直线AB表达式为:y=ax+b,
4k+b=0
b=3

解得:
k=?
3
4
b=3

故直线AB表达式为:y=-
3
4
x+3,
同理可得:根据B,D两点求出BD的表达式为y=
4
3
x+3,
∵kAB×kBD=-1,
∴BD⊥AB,BD为⊙M的切线;

(3)解:取点A关于直线MC的对称点O,连接DO并延长交直线MC于P,
此P点为所求,且线段DO的长为|DP-AP|的最大值;
设直线DO表达式为 y=kx,
∴-5=-6k,
解得:k=
5
6

∴直线DO表达式为 y=
5
6
x
又∵在直线DO上的点P的横坐标为2,y=
5
3

∴P(2,
5
3
),
此时|DP-AP|=DO=
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