Question

{an}是各项为正整数的等差数列，若公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的项，若a1=2m（m∈N*）

{an}是各项为正整数的等差数列，若公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的项，若a1=2m（m∈N*），则d的所有取值的和为______．

Answer 1

由题意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差数列的通项公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1）d，
整理得d=

a1

k?p?q+1

，
∵a₁=2^m（m∈N^*），∴d=

2m

k?p?q+1

，
又p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，即{a_n}中任意两项之和也是该数列中的项，
∴d=1，2，4，…，2^m，
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2^m=

1×(1?2m+1)

1?2

=2^m+1-1，
故答案为：2^m+1-1．