Question

已知函数f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜5，设g（x）=f（x）

已知函数f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜5，设g（x）=f（x）+x，求证g（x）为单调递增函数．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1，它的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=x-a+

a?1

x

=

(x?1)(x+1?a)

x

．
（i）若a-1=1，即a=2，则f′（x）=

(x?1)2

x

＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，
则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a-1）、及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
故f（x）在（a-1，1）上单调递减，在（0，a-1）、（1，+∞）单调递增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1）、（a-1，+∞）上单调递增．
（2）g（x）=f（x）+x=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx+x，则g′（x）=x-（a-1）+

a?1

x

≥2

a?1

-（a-1）=1-(

a?1

?1)2，
由于1＜a＜5，故g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加．