Question

已知函数f（x）=alnx+1x+12x2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（x-1）（e-x-x）+2lnx

已知函数f（x）=alnx+1x+12x2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（x-1）（e-x-x）+2lnx＜23．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

a

x

?

1

x2

?

1

x3

＝

ax2?x?1

x3

…2分
   当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）内单调递减；…4分
   当a＞0时，x∈（0，

1+ 1+4a

2a

），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
   x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞)，f′（x）＞0，f（x）单调递增；…6分
  （Ⅱ）当a=2时，由（1）可知f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，
∴f（x）_max=f（1）=

3

2

，2lnx+

1

x

+

1

2x2

≥

3

2

…8分
  即2ln

1

x

+x+

x2

2

≥

3

2

，∴2lnx?x?

x2

2

≤?

3

2

∵（x-1）（e^-x-x）+2lnx=（x-1）e^-x-x²+x+2lnx
=（x-1）e^-x-

x2

2

+2x+(2lnx?x?

x2

2

)
＜（x-1）e^-x-

x2

2

+2x?

3

2

 令g（x）=（x-1）e^-x-

x2

2

+2x，x＞0
  而g′（x）=（2-x）（e^-x+1），可知x=2时，g（x）取得最大值，即g（x）≤g（2）=

1

e2

+2…10分
∴（x-1）e^-x-

x2

2

+2x+2lnx-x-

x2

2

＝2lnx+(x?1)(e?x?x)＜

1

e2

+2?

3

2

＜

2

3

…12分