已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求
已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求角C的大小.(2)求cos2A+cos2B...
已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求角C的大小.(2)求cos2A+cos2B的取值范围.
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(1)由正弦定理可知(a-c)(a+c)=(a-b)b …(2分)
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理得 cosC=
=
…(4分)
所以 C=
…(5分)
(2)∵A+B=
,故B=
-A,
所以cos2A+cos2B=1+
cos2A+
cos(
?2A)
=1-
sin2A+
cos2A=1+
sin(2A+
) …(8分)
因△ABC为锐角三角形,所以
<A<
∴
<2A+
<
…(10分)
∴-
≤
sin(2A+
)<?
∴cos2A+cos2B的取值范围:[
,
].…(12分)
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理得 cosC=
a2+b2?c2 |
2ab |
1 |
2 |
所以 C=
π |
3 |
(2)∵A+B=
2π |
3 |
2π |
3 |
所以cos2A+cos2B=1+
1 |
2 |
1 |
2 |
4π |
3 |
=1-
| ||
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
5π |
6 |
因△ABC为锐角三角形,所以
π |
6 |
π |
2 |
∴
7π |
6 |
5π |
6 |
11π |
6 |
∴-
1 |
2 |
1 |
2 |
5π |
6 |
1 |
4 |
∴cos2A+cos2B的取值范围:[
1 |
2 |
3 |
4 |
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