Question

一道线代求矩阵特征值与特征向量的题怎么解？

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ
令其行列式等于0，即
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ 第3列加上第1列乘以-2-λ
=
2-λ -1 λ^2-2
5 -3-λ -5λ-7
-1 0 0 按第3行展开
= -1*[5λ+7-(3+λ)(λ^2-2)]
=-(λ+1)^3
=0
所以解得A的三个特征值都是 -1

那么
A-λE=
3 -1 2
5 -2 3
-1 0 -1 第1行加上第3行×3，第2行加上第3行×5
～
0 -1 -1
0 -2 -2
-1 0 -1 第2行减去第1行，第1行乘以-1，第3行乘以-1，交换第1行和第3行
～
1 0 1
0 0 0
0 1 1 交换第2行和第3行，
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
所以得到特征向量为(1，1，-1)^T

故矩阵A的三个特征值都是-1，
其特征向量为(1，1，-1)^T