Question

已知：三点A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），点A在正比例函数y= 1 2 x的图象上．（1）求a的

已知：三点A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），点A在正比例函数y= 1 2 x的图象上．（1）求a的值；（2）点P为x轴上一动点．①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；②当∠APB=20°时，求∠OAP+∠PBC的度数．

Answer 1

（1）∵点A（a，1）在正比例函数y= 1 2 x的图象上， ∴a=2． （2）①如图①，作点A关于x轴对称点A′，可得A′（2，-1）． 连接A′B交x轴于点P． 设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），可得此直线的解析式为y=2x-5． 当y=0时，x=2.5． 当AP+BP取得最小值时，可得△OAP与△CBP周长的和取得最小值，此时点P的坐标为（2.5，0）． ②如图②，设AA′交x轴于点K．连接OA′、OB、AB，作BM⊥OC于M． ∵A′K=AK=AB=1，∠OKA′=∠A′AB=90°，OK=AA′=2， ∴△OKA′≌△A′AB．（4分） ∴OA′=A′B，∠OA′K=∠ABA′． ∵在Rt△AA′B中， ∠ABA′+∠AA′B=90°， ∴∠OA′B=90°． ∴△OA′B为等腰直角三角形． ∴∠BOA′=∠BOC+∠A′OC=45°． ∵BM⊥OC，OM=MC=3， ∴OB=BC． ∴∠BOC=∠BCO． ∵∠AOC=∠A′OC， ∴∠AOC+∠BCO=45°． 如图③，当∠APB=20°时， ∠OAP+∠PBC =360°-（∠AOC+∠BCO）-（∠APO+∠BPC） =360°-45°-（180°-20°）=155°．