Question

（2013?宝应县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=?43x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=14OB

（2013?宝应县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=?43x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=14OB，AC=14AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．（1）求点C的坐标；（2）用含a的代数式表示NP；（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵一次函数y=?

4

3

x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴OD=

1

4

OB=2，AC=

1

4

AB=

5

2

，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=

AC2?CE2

=

3

2

，
∴OE=OA-AE=6-

3

2

=

9

2

，
∴点C的坐标为：（

9

2

，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴

ON

OA

＝

NP

AB

，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴

NP

10

＝

6?a

6

，
解得：NP=

30?5a

3

；

（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
过点D作DQ∥AB交OA于Q，则

OQ

OA

=

OD

OB

，即

OQ

6

=

2

8

，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
分两种情况讨论：
①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

＝

OP

OB

，
∴