Question

已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°．（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）求证：△F1P

已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°．（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

Answer 1

设椭圆方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2mn，
∴4c²=4a²-3mn．即3mn=4a²-4c²．
又mn≤（

m+n

2

）²=a²（当且仅当m=n时取等号），
∴4a²-4c²≤3a²，∴

c2

a2

≥

1

4

，即e≥

1

2

．
∴e的取值范围是[

1

2

，1）．
（2）由（1），得mn=

4(a2?c2)

3

＝

4

3

b2，
∴S△F1PF2=

1

2

mnsin60°=

3

3

b2，
面积表达式中的字母只含有b，可得：△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关．