Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为CC1、AD的中点，F为BB1上的点，且B1F=3BF（I）证明：EF∥平面A

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为CC1、AD的中点，F为BB1上的点，且B1F=3BF（I）证明：EF∥平面ABC；（Ⅱ）若AC=22，CC1=2，BC=2，∠ACB=π3，求三棱锥F-ABD的体积．

Answer 1

证明：（I）设AC的中点为O，连结EO，OB，
由题意知EO∥CC₁，且EO=

1

4

CC₁，BF∥CC₁，且BF=

1

4

CC₁，
∴EO∥BF，且EO=BF，
∴四边形EFBO是平行四边形，
∴EF∥OB，
∵EF?平面ABC，BO?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）由AC=2

2

，CC₁=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，
∴由AB²=AC²+BC²-2AC?BCcos∠ACB=8+2-2×2

2

×

2

×

1

2

=6，
∴AB=

6

，
由AB²+BC²=AC²，得AB⊥BC，
∵AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BFD，
∴VF?ABD＝VA?BFD＝

1

3

×(

1

2

×

2

×

1

2

)×

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