Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．

Answer 1

（1）∵E、F分别为AB、AA₁的中点，∴EF∥A₁B
∵EF?平面BC₁A₁，A₁B?平面BC₁A₁
∴EF∥平面BC₁A₁．
（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AC⊥CC₁，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，∴AC⊥B₁C，
又∵A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥B₁C，
∵BC=CC₁，BC⊥CC₁，∴BC₁⊥B₁C
∴B₁C⊥平面BA₁C₁，∴B₁C⊥A₁B
由（1）知，EF∥A₁B
∴EF⊥B₁C．