Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E-AB-C的平面角为θ，求tanθ的值．

Answer 1

（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，
∵EG∥CC₁，CC₁?平面EFG，∴CC₁∥平面EFG，
同理：BC∥平面EFG，
又∵BC、CC₁?平面BCC₁B₁，∴平面EFG∥平面BCC₁B₁．
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴EG⊥平面ABC
∵EG∥CC₁，∠FEG为直线EF与CC₁所成的角
△EFG为Rt△，∴tan∠FEG=

FG

EG

=

1 2 a

a

=

1

2

．
（3）取AF的中点H，连接GH、EH，
∵AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，
有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，
∴∠EHG为二面角E-AB-C的平面角，
又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，HG＝

1

2

FC＝

2

4

a，EG=CC₁=a，
则tanθ＝

EG

HG

＝

a

2 4 a

＝2

2

．