Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点D、E分别是AA1、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE∥

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点D、E分别是AA1、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE∥平面BC1D；（Ⅱ）证明：平面BC1D⊥平面BCD；（Ⅲ）求多面体A1B1C1BD的体积V．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：在矩形ACC₁A₁中，由C₁E∥AD，C₁E=AD，可得AEC₁D是平行四边形．…（1分）
所以AE∥DC₁，…（2分）
又AE不在平面BC₁D内，C₁D?平面BC₁D，所以AE∥平面BC₁D．…（4分）
（Ⅱ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∴BC⊥CC₁，AC⊥BC．
∵CC₁∩AC=C，所以BC⊥平面ACC₁A₁．…（6分）
而C₁D?平面ACC₁A₁，所以BC⊥C₁D．…（7分）
在矩形ACC₁A₁中，DC=DC₁=

2

，CC₁=2，从而DC²+DC12=CC12，
所以DC₁⊥DC．…（8分）
又DC∩BC=C，所以C₁D⊥平面BCD，…（9分）
而C₁D?平面BC₁D，所以平面BC₁D⊥平面BCD．  …（10分）
（Ⅲ）取A₁B₁中点F，由A₁C₁=B₁C₁知C₁F⊥A₁B₁，…（11分）
又直三棱柱中侧面ABA₁B₁⊥底面A₁B₁C₁且交线为A₁B₁，故C₁F⊥面A₁B₁BD，…（12分）
∴V=

1

3

?SA1B1BD?C₁F=

1

3

?

1+2

2

?

2

?

2

2

=

1

2

．…（14分）