Question

如图，在平行四边形ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC和∠BCD，且BE与CE相交于AD上同一点，若BE=12cm，CE=5cm

如图，在平行四边形ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC和∠BCD，且BE与CE相交于AD上同一点，若BE=12cm，CE=5cm．（1）求平行四边形ABCD的周长；（2）求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3=

1

2

∠ABC，∠DCE=∠BCE=

1

2

∠BCD
∵AD∥BC，AB∥CD
∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°
∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°
在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=13
根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC
∴平行四边形的周长等于：13+13+13=39．
作EF⊥BC于F．根据直角三角形的面积公式得：EF=

BE?CE

BC

=

60

13

，
所以平行四边形的面积=

60

13

×13=60．
即平行四边形的周长为39cm，面积为60cm²．

Answer 2

∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3= 12∠ABC，∠DCE=∠BCE= 12∠BCD
∵AD∥BC，AB∥CD
∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°
∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°
在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=13
根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC
∴平行四边形的周长等于：13+13+13=39．
作EF⊥BC于F．根据直角三角形的面积公式得：EF= BE+CEBC= 6013，
所以平行四边形的面积= 6013×13=60．
即平行四边形的周长为39cm，面积为60cm²．

Answer 3

△BCE是直角三角形，
理由：∵在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABC+∠BCD=180?，∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠EBC+∠ECB=90?，
∴∠BEC=90?，
∴△BCE是直角三角形；
∵∠BEC=90?，BE=12cm，CE=5cm，
∴BC=BE2+CE2?????????√=122+52??????√=13cm；
(2)证明：∵在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AB=CD,AD∥BC，∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠AEB=∠EBC，∠BCE=∠CED，
∴∠ABE=∠AEB，∠CED=∠ECD，
∴AB=AE，DE=DC，
∵AB=DC，
∴AE=DE，
∴点E是AD的中点；
(3)∵在?ABCD中，点E为CD的中点，BC=13cm，
∴AD=BC=13cm，
由(2)知,AB=12AD，
∴AB=6.5cm；
(4)∵在?ABCD中，AB=CD=6.5cm，AD=BC=13cm，
∴?ABCD的周长是：6.5+13+6.5+13=39cm，
∵△BEC是直角三角形,BE=12cm,CE=5cm,∠BEC=90?，
∴△BEC的面积是：12×5÷2=30cm2，
∴?ABCD的面积是：2×30=60cm2.