Question

已知抛物线y2=2px（p＞0），抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为p，过点M（1，0）作斜率为k的直线l交抛

已知抛物线y2=2px（p＞0），抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为p，过点M（1，0）作斜率为k的直线l交抛物线于A，B两点，A点关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）探究：当k变化时，点Q是否为定点？

Answer 1

（1）设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为N，则N（

1

2p

，1），
根据题意，N（

1

2p

，1）在抛物线上，
则

1

2p

+

p

2

=p，可得p=1；
（2）过点M（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1），
设A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

，y2），
则C（

y12

2

，?y1），k_BC=

y2+y1

y22 2 ? y12 2

＝

2

y2?y1

，
所以直线BC的方程为：y+y₁=

2

y2?y1

（x?

y12

2

），
因此当y=0时，x=

y1y2

2

，即Q（

y1y2

2

，0），
又因为

y2＝2x y＝k(x?1)

，
可得ky²-2y-2k=0，则y₁y₂=-2，
所以当k变化时，点Q为定点，其坐标为（-1，0）．