Question

某环形跑道上顺时针排列有4所中学：A1、A2、A3、A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台，为使各校的彩

某环形跑道上顺时针排列有4所中学：A1、A2、A3、A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台，为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电，则满足要求的调配方案中调出彩电台数最少时的台数为______台．

Answer 1

设A₁中学调给A₂中学x₁台彩电（若x₁为负数，则认为是A₂中学向A₁中学调出|x₁|台彩电，以下同）
A₂中学调给A₃中学x₂台彩电；A₃中学调给A₄中学x₃台彩电；A₄中学调给A₁中学x₄台彩电．?
∵彩电共有15+8+5+12=40台，平均每校10台
∴15-x₁+x₄=10，8-x₂+x₁=10，5-x₃+x₂=10，12-x₄+x₃=10∴x₄=x₁-5，x₁=x₂+2，x₂=x₃+5，x₃=x₄-2∴x₄=x₁-5，x₂=x₁-2，x₃=x₂-5=x₁-2-5=x₁-7
∵y=|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|=|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|的最小值．
其中x₁是满足-8≤x₁≤15的整数．
设x₁=x，考虑定义在-8≤x≤15上的函数y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|．
∵|x|+|x-7|表示数x到0与7的距离之和，当0≤x≤7时，|x|+|x-7|取得最小值7；
同理，当2≤x≤5时，|x-2|+|x-5|取得最小值3，
故当2≤x≤5时，y取最小值10，即当x=2，3，4，5时，
|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|取最小值10．所以，调出彩电最少总台数为10．