Question

AB是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的一条弦，且|AF|=1，|BF|＝13，求抛物线及直线AB方程

AB是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的一条弦，且|AF|=1，|BF|＝13，求抛物线及直线AB方程．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 |AF|＝x1+

p

2

，|BF|＝x2+

p

2

，…（2分）
则|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝

4

3

，
∴x1+x2＝

4

3

?p，…（4分）
而若设过焦点（

p

2

，0）的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程为：y=k（x-

p

2

）
又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
 

y＝k(x? p 2 ) y2＝2px

，?x²-（

2p

k

+p）x+

p2

4

=0
∴x1?x2＝

p2

4

，
由|AF|?|BF|＝x1?x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

＝

1

3

．
得 

p2

2

+

p

2

?(

4

3

?p)＝

1

3

，…（6分）
即

2p

3

＝

1

3

，
∴p＝

1

2

，
抛物线方程为y²=x．…（8分）
设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得：|AB|²=（y₂-y₁）²+（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
由于直线AB过点（

p

2

，0），设直线AB为y=tanθ（x-

p

2

），
联立得到：tan²θx²-（tan²θ+2）px+

1

4

p²tan²θ=0
那么（x₂-x₁）²
=（x₂+x₁）²-4x₁x ₂
=（

tan 2θ +2

tan 2θ

×p）²-4×

p2

4

=4p²（tan²θ+1）×

1

tan4θ

那么|AB|²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
=（tan²θ+1）×4p²（tan²θ+1）×

1

tan4θ

=

4p2

sin 4θ

．
∴|AB|＝

2p

sin2θ

，
由|AB|＝

2p

sin2θ

＝

4

3

，得 sin2θ＝

3

4

，
∴sinθ＝±

3

2

，∴θ=60⁰或120⁰，
得 k＝tanθ＝±

3

，
所以AB方程为 y＝±

3

(x?

1

4

)．…（12分）