Question

已知函数fx=1/x²＋1。 判断函数fx在区间(0＋∞)上的单调性并证明。 求fx在区间[1，

]上的最大值和最小值。

Answer 1

解判断函数fx在区间(0＋∞)上单调递减
设x1，x2属于（0，正无穷大）且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=1/(x1^2+1)-1/(x2^2+1)
=(x2^2-x1^2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
由0＜x1＜x2
知x2^2＞x1^2
则x2^2-x1^2＞0
故(x2^2-x1^2)/(x1^2+1)(x2^2+1)＞0
故f(x1)-f(x2)＞0
故函数fx在区间(0＋∞)上单调递减。

追问

抱歉，你貌似误解了，是(1/x∧2)+1

追答

解判断函数fx在区间(0＋∞)上单调递减
设x1，x2属于（0，正无穷大）且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=1/(x1^2)+1-1/(x2^2)-1
=(x2^2-x1^2)/(x1^2)(x2^2)
由0＜x1＜x2
知x2^2＞x1^2
则x2^2-x1^2＞0
故(x2^2-x1^2)/(x1^2)(x2^2)＞0
故f(x1)-f(x2)＞0
故函数fx在区间(0＋∞)上单调递减。