Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB．连接OC交⊙O于D，BD的延长线交AC

如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB．连接OC交⊙O于D，BD的延长线交AC于E，求AE的长．

Answer 1

解：如图，连接AD，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
又∵∠3=∠4，且∠1=∠2，
则∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CDE∽△CAD，
有

CD

DE

＝

CA

AD

（1）．
又△ADE∽△BDA，
∴

AE

DE

＝

AB

AD

（2）．
由（1）、（2）及AB=AC得AE=CD．
∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CA

=

CE

CD

，
∴CD²=CA?CE，
令AE=x，则CE=d-x，于是有x²=d（d-x），
即x²+dx-d²=0，
解此方程并取正根，得AE=x=

5 ?1

2

d．

Answer 2

如图，连接ad

∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
又∵∠3=∠4，且∠1=∠2，
则∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CDE∽△CAD

∴  cd：de = ac：ad

又△ADE∽△BDA，

∴ cd：ac = ce：cd

∴ cd² = ca×ce

令ae=x，则ce=d-x

代入得：x²=d（d-x），
即x²+dx-d²=0，

解得：x＝（√5－1）d／2

即：ae＝（√5－1）d／2

Answer 3

方法一：
作∠AOC的平分线OF交AC于F。
显然有：OA＝OD＝d/2，又AC＝AB＝d、AB⊥AC，
∴OC^2＝OA^2＋AC^2＝（d/2）^2＋d^2＝（5/4）d^2，∴OC＝（√5/2）d。
由三角形内角平分线定理，有：AF/FC＝OA/OC＝（d/2）/［（√5/2）d］＝1/√5，
∴AF/（AF＋FC）＝1/（1＋√5），∴AF＝AC/（1＋√5）＝d/（1＋√5）。
－－－－－－
自然有：OA＝OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∴由三角形外角定理，有：∠AOC＝2∠OBD，∴∠AOF＝∠OBD，∴OF∥BE，
∴AE＝2AF＝2d/（1＋√5）＝2（√5－1）d/（5－1）＝［（√5－1）/2］d。
－－－－－－
方法二：
∵OA⊥AC、OA＝d/2、AC＝AB＝d，∴tan∠AOC＝AC/OA＝d/（d/2）＝2，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠AOC＝2∠OBD，∴tan2∠OBD＝2，
∴2tan∠OBD/［1－（tan∠OBD）^2］＝2，∴tan∠OBD＝1－（tan∠OBD）^2，
∴（tan∠OBD）^2－tan∠OBD＋1/4＝5/4，∴（tan∠OBD＋1/2）^2＝5/4。
∵AB⊥AC，∴∠OBD是锐角，∴tan∠OBD＋1/2＝√5/2，∴tan∠OBD＝（√5－1）/2，
∴AE/AB＝（√5－1）/2，∴AE＝［（√5－1）/2］AB＝［（√5－1）/2］d。

Answer 4

如图。

Answer 5

由圆的关系可以得到∠AOC=2∠ABE
然后由二倍角的正切来计算