Question

已知函数f（x）=alnx-（x-1） 2 -ax（常数a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0．如果对于f（

已知函数f（x）=alnx-（x-1） 2 -ax（常数a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0．如果对于f（x）的图象上两点P 1 （x 1 ，f（x 1 ）），P 2 （x 2 ，f（x 2 ））（x 1 ＜x 2 ），存在x 0 ∈（x 1 ，x 2 ），使得f（x）的图象在x=x 0 处的切线m ∥ P 1 P 2 ，求证： x 0 ＜ x 1 + x 2 2 ．

Answer 1

（ I）f（x）的定义域为（0，+∞）， f ′ (x)= a x -2(x-1)-a= (1-x)(2x+a) x （2分） ①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞） ②-2＜a＜0时，f（x）的增区间为（- a 2 ，1），减区间为（0，- a 2 ），（1，+∞） ③a=-2时，f（x）减区间为（0+∞） ④a＜-2时，f（x）的增区间为（1，- a 2 ），减区间为（0，1），（- a 2 ，+∞） （ II）由题意 f ′ ( x 0 )= k P 1 P 2 = f( x 2 )-f( x 1 ) x 2 - x 1 = aln x 2 x 1 x 2 - x 1 -（x 1 +x 2 -2）-a 又： f ′ ( x 1 + x 2 2 )= 2a x 1 + x 2 -( x 1 + x 2 -2)-a ．（9分） f′（x）= a x -2(x-1)-a （a＞0）在，（0，+∞）上为减函数 要证 x 0 ＜ x 1 + x 2 2 ，只要证 f ′ ( x 0 )＞ f ′ ( x 1 + x 2 2 ) 即 aln x 2 x 1 x 2 - x 1 ＞ 2a x 1 + x 2 ，即证 ln x 2 x 1 ＞ 2( x 2 - x 1 ) x 1 + x 2 （13分） 令 t= x 2 x 1 ＞1，g(t)=lnt- 2(t-1) t+1 ， g ′ (t)= 1 t - 4 (t+1) 2 = (t-1) 2 t (t+1) 2 ＞0 ∴g（t）在（1，+∞）为增函数， ∴g（t）＞g（1）=0， ∴lnt＞ 2(t-1) t+1 ， lnt t-1 ＞ 2 t+1 即 ln x 2 x 1 ＞ 2( x 2 - x 1 ) x 1 + x 2 ∴x 0 ＜ x 1 + x 2 2 证（15分）