已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn+n+1（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{
已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn+n+1（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：n2-1...
已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn+n+1（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：n2-13＜a1a2+a2a3+…anan+1＜n2（n∈N*）．
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（1）由an+1＝Sn+n+1(n∈N*)，
得a2=S1+2=a1+2，
a3=S2+3=a1+a2+3=2a1+5，
a4=S3+4=a1+a2+a3+4=4a1+11…（1分）
∵a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2（a3+2）=a2+a42（2a1+7）=a1+2+4a1+11，…（2分）
解得a1=1．…（3分）
（2）当n≥2（n∈N*），
an+1=Sn+n+1，an=Sn-1+n，
两式相减得an+1-an=Sn+n+1-（Sn-1+n）=an+1，
即an+1=2an+1…（4分）
∴an+1+1=2（an+1），…（5分）
又a2=S1+2=a1+2=3，a2+1=2（a1+1）…（6分）
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．…（7分）
∴an+1＝2n．即 an＝2n?1(n∈N*)．…（8分）
（3）证明：∵
＝
＝
＜
，k＝1，2，…，n，…（9分）
∴
+
+…+
＜
．…（10分）
∵
＝
＝
?
＝
?
≥
?
.
，k＝1，2，…，n，…（11分）
∴
得a2=S1+2=a1+2，
a3=S2+3=a1+a2+3=2a1+5，
a4=S3+4=a1+a2+a3+4=4a1+11…（1分）
∵a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2（a3+2）=a2+a42（2a1+7）=a1+2+4a1+11，…（2分）
解得a1=1．…（3分）
（2）当n≥2（n∈N*），
an+1=Sn+n+1，an=Sn-1+n，
两式相减得an+1-an=Sn+n+1-（Sn-1+n）=an+1，
即an+1=2an+1…（4分）
∴an+1+1=2（an+1），…（5分）
又a2=S1+2=a1+2=3，a2+1=2（a1+1）…（6分）
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．…（7分）
∴an+1＝2n．即 an＝2n?1(n∈N*)．…（8分）
（3）证明：∵
| ak |
| ak+1 |
| 2k?1 |
| 2k+1?1 |
| 2k?1 | ||
2(2k?
|
| 1 |
| 2 |
∴
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| an |
| an+1 |
| n |
| 2 |
∵
| ak |
| ak+1 |
| 2k?1 |
| 2k+1?1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2(2k+1?1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3.2k+2k?2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2k |
∴
a1
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