Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝a+

1

x

，x＞0…（2分）
当a≥0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），…（4分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得x＝?

1

a

．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

所以函数f（x）的单调增区间为（0，?

1

a

），函数f（x）的单调减区间为(?

1

a

，+∞)…（6分）
（2）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max…（8分）
因为g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合题意．）     …（10分）
当a＜0时，f（x）在(0，?

1

a

)上单调递增，在(?

1

a

，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(?

1

a

)＝?1+ln(?

1

a

)＝?1?ln(?a)，…（11分）
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜?

1

e3

．…（12分）