Question

几道高数求极限题目，求解

一共有三道，3.26的第一题，3.36,3.13的6和8，这几道题怎么做？

Answer 1

1、分子有理化：
lim[x→∞] [√(x²+x)-√(x²+1)]
=lim[x→∞] [√(x²+x)-√(x²+1)][√(x²+x)+√(x²+1)]/[√(x²+x)+√(x²+1)]
=lim[x→∞] [(x²+x)-(x²+1)]/[√(x²+x)+√(x²+1)]
=lim[x→∞] (x-1)/[√(x²+x)+√(x²+1)]
下面分正负无穷讨论：
当x→+∞时
分子分母同除以x
原式=lim[x→+∞] (1-1/x)/[√(1+1/x)+√(1+1/x²)]=1/2
当x→-∞时
分子分母同除以x
原式=lim[x→+∞] (1-1/x)/[-√(1+1/x)-√(1+1/x²)]=-1/2
因此当x→∞时，极限不存在

2、令√x=u，则原极限化为：
原式=lim[u→1] (u^4-u)/(u-1)
=lim[u→1] u(u-1)(u²+u+1)/(u-1)
=lim[u→1] u(u²+u+1)
=3

3、分左右极限讨论
lim[x→0+] [2^(1/x)-1]/[2^(1/x)+1]
=lim[x→0+] [1-2^(-1/x)]/[1+2^(-1/x)] 此时1/x→+∞，2^(1/x)→+∞，2^(-1/x)→0
=1
lim[x→0-] [2^(1/x)-1]/[2^(1/x)+1]=-1 此时1/x→-∞，2^(1/x)→0
由于左右极限不同，因此原极限不存在。

4、lim[x→a] (cosx-cosa)/(x-a)
和角公式
=lim[x→a] (cosx-cosa)/(x-a)
=lim[x→a] -2sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]/(x-a)
等价无穷小代换
=lim[x→a] -2sin[(x+a)/2][(x-a)/2]/(x-a)
=lim[x→a] -sin[(x+a)/2]
=-sina

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