Question

求解几道高数求极限题

我要简单详细过程

Answer 1

1、lim√x^2+x-√x^2+1 分子有理化
=lim(x-1) /(√x^+x+√x^2+1) 分子分母同时除以x
=lim(1-1/x)/[√1+(1/x) +√1+(1/x^2)]/ 显然1/x极限为0
=1/2
刚才看了一下他人的解法，此题极限可能不存在，因为当x→-∞时，
其极限为-1/2，而x→+∞时，才是1/2，左极限不等于右极限，上式只是考虑了x为正值的情况

2、分子分母同乘以√x+1
=lim(x^2-√x)(√x+1)/(x-1)=lim(x^2√x-x+x^2-√x)/(x-1)=lim[x(x-1)+√x(x^2-1)]/(x-1)
=lim[x+√x(x+1)] 代入x趋于1 可得
=1+2=3
3、我认为极限不存在，因为左极限不等于右极限
当x从正值趋于0时，极限为1，当x从负值趋于0时，极限为-1
4、cosx-cosa=-2sin(x+a)/2*sin(x-a)/2 和差化积公式：化为半角
所以上式极限=lim[-2sin(x+a)/2*sin(x-a)/2]/(x-a) 根据特殊极限limsinx/x=1 (x趋于0）
=-limsin(x+a)/2
=-sina
当然此题也可以对分子分母用罗比达法则计算。

以上答案仅供参考，如有疑问，可以继续追问！

Answer 2

1、分子有理化：
lim[x→∞] [√(x²+x)-√(x²+1)]
=lim[x→∞] [√(x²+x)-√(x²+1)][√(x²+x)+√(x²+1)]/[√(x²+x)+√(x²+1)]
=lim[x→∞] [(x²+x)-(x²+1)]/[√(x²+x)+√(x²+1)]
=lim[x→∞] (x-1)/[√(x²+x)+√(x²+1)]
下面分正负无穷讨论：
当x→+∞时
分子分母同除以x
原式=lim[x→+∞] (1-1/x)/[√(1+1/x)+√(1+1/x²)]=1/2
当x→-∞时
分子分母同除以x
原式=lim[x→+∞] (1-1/x)/[-√(1+1/x)-√(1+1/x²)]=-1/2
因此当x→∞时，极限不存在

2、令√x=u，则原极限化为：
原式=lim[u→1] (u^4-u)/(u-1)
=lim[u→1] u(u-1)(u²+u+1)/(u-1)
=lim[u→1] u(u²+u+1)
=3

3、分左右极限讨论
lim[x→0+] [2^(1/x)-1]/[2^(1/x)+1]
=lim[x→0+] [1-2^(-1/x)]/[1+2^(-1/x)] 此时1/x→+∞，2^(1/x)→+∞，2^(-1/x)→0
=1
lim[x→0-] [2^(1/x)-1]/[2^(1/x)+1]=-1 此时1/x→-∞，2^(1/x)→0
由于左右极限不同，因此原极限不存在。

4、lim[x→a] (cosx-cosa)/(x-a)
和角公式
=lim[x→a] (cosx-cosa)/(x-a)
=lim[x→a] -2sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]/(x-a)
等价无穷小代换
=lim[x→a] -2sin[(x+a)/2][(x-a)/2]/(x-a)
=lim[x→a] -sin[(x+a)/2]
=-sina

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Answer 3

①把分母看作1，分子有理化，分子分母同除于x，可求极限，1/2.