Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.

试题分析：（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论. （2）①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论. ②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论. 试题解析：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°. ∴∠1=∠2. 又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°. ∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA. ∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF. （2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G， ∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG，∠3=45°. ∵BM=2DE，∴BM=2BG，即点G是BM的中点.∴EG是BM的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°. ∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC. ②∵AD⊥BC，∴ME∥AD.∴∠5=∠6. ∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM. ∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8. ∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°. ∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD. ∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.