Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x 2 -y 2 =1的右支交于不同的两点A、B，（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x 2 -y 2 =1的右支交于不同的两点A、B，（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x 2 -y 2 =1后， 整理得 ，……① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点， 故 ，解得k的取值范围是 ； （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为 ， 则由①式得 ，……② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）， 则由FA⊥FB得： ，即 ， 整理得 ，……③ 把②式及代入③式化简得 ， 解得 （舍去）， 可知 使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。