Question

（2011?浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．（Ⅰ）证明

（2011?浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．

Answer 1

解：（I）由题意画出图如下：
由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，
∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角，
在直角三角形ADB中，AB2＝AD2+BD2＝41 得：AB＝

41

；
在直角三角形POD中，PD²=PO²+OD²，在直角三角形PDB中，PB²=PD²+BD²，∴PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6，
在直角三角形POA中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5，
又cos∠BPA=

PA2+PB2?AB2

2PA?PB

＝

1

3

，从而sin∠BPA＝

2 2

3

．
故BM=PBsin∠BPA＝4

2

．同理：CM＝4

2

，
∵BM²+MC²=BC²，∴二面角B-AP-C的大小为90°．