(2009?黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.(1
(2009?黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.(1)DE与半圆0是否相切?若相切,请给出证明;若不相...
(2009?黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.(1)DE与半圆0是否相切?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;(2)若AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,求直角边BC的长.
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(1)DE与半圆O相切,理由如下:
连接OD、BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=∠BDC=90°,
∵在Rt△BDC中,E为BC边上的中点,
∴DE=BE,
∴∠EBD=∠BDE,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,
∵OD是半径,
∴DE与半圆O相切;
(2)∵AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,
∴解方程得:x1=6,x2=10,
∵AD<AB,
∴AD=6,AB=10,
∵在Rt△ABC中,BD⊥AC,
∴Rt△ADB∽Rt△ABC,
∴
=
,
即AB2=AD?AC,
∴AC=
=
,
在Rt△ABC中,AB=10,AC=
,
∴BC=
=
.
连接OD、BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=∠BDC=90°,
∵在Rt△BDC中,E为BC边上的中点,
∴DE=BE,
∴∠EBD=∠BDE,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,
∵OD是半径,
∴DE与半圆O相切;
(2)∵AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,
∴解方程得:x1=6,x2=10,
∵AD<AB,
∴AD=6,AB=10,
∵在Rt△ABC中,BD⊥AC,
∴Rt△ADB∽Rt△ABC,
∴
AB |
AD |
AC |
AB |
即AB2=AD?AC,
∴AC=
AB2 |
AD |
50 |
3 |
在Rt△ABC中,AB=10,AC=
50 |
3 |
∴BC=
AC2?AB2 |
40 |
3 |
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