(2009?黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.(1

(2009?黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.(1)DE与半圆0是否相切?若相切,请给出证明;若不相... (2009?黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.(1)DE与半圆0是否相切?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;(2)若AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,求直角边BC的长. 展开
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啊咧__165
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(1)DE与半圆O相切,理由如下:
连接OD、BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=∠BDC=90°,
∵在Rt△BDC中,E为BC边上的中点,
∴DE=BE,
∴∠EBD=∠BDE,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,
∵OD是半径,
∴DE与半圆O相切;

(2)∵AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,
∴解方程得:x1=6,x2=10,
∵AD<AB,
∴AD=6,AB=10,
∵在Rt△ABC中,BD⊥AC,
∴Rt△ADB∽Rt△ABC,
AB
AD
=
AC
AB

即AB2=AD?AC,
∴AC=
AB2
AD
=
50
3

在Rt△ABC中,AB=10,AC=
50
3

∴BC=
AC2?AB2
=
40
3
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